Выбор конечно-разностной схемы для численного решения аналитической математической модели

» Выбор конечно-разностной схемы для численного решения аналитической математической модели

Сопоставление экспериментальных данных и результатов моделирования позволяет сделать следующие выводы характер поведения экспериментальной и теоретической кривой в целом идентичен, за исключением начального участка;<\p>

Целью настоящей работы являлся выбор конечно-разностной схемы для численного решения аналитической математической модели новой конструкции электротеплового преобразователя (ЭТП) на основе жидкостного термомеханического преобразователя (ЖТМП), сопоставление результатов ее численного решения с экспериментальными данными и исследования зависимости динамических характеристик ЭТП от значений его основных конструктивных параметров. При построении модели с целью ее упрощения на первом этапе исследований были приняты некоторые допущения. Поскольку в большинстве практических случаев используемый ЖТМП имеет отношение длины к диаметру больше 5, то теплообменом через его торцевые стенки можно пренебречь.

Это позволило существенно упростить задачу и рассматривать лишь одномерный случай, когда из пространственных координат системы остается только одна -текущий радиус, что соответствует системе бесконечной длины.

В реальной задаче имеет место существенное различие в размерах самого корпуса ЖИМП и толщины его стенок, а также стенок каркаса обмотки и самой обмотки.

По этой причине были использованы различные величины шагов сетки по пространственной координате для различных тел системы при сохранении неизменного числа шагов по каждому телу.

При учете зазора между каркасом и витками обмотки (ta счет того, что провод имеет круглое сечение и покрыт изоляцией), провод заменялся жнииалеитным проводом прямоугольного сечения той же площади с сохранением значении редпего радиуса обмотки.

При этом воздушный зазор сложного профиля между круглыми витками обмотки и поверхностью каркаса заменялся равномерным зазором эквивалентной величины) Шаг по времени устанавливался единым для всей системы. При построении разностной схемы, аппроксимирующей исходные дифференциальные уравнения (включая начальные и граничные условия) использована простейшая разностная схема, позволяющая получать явное решение. Такая схема обладает условной устойчивостью.

Однако, условия устойчивости могут быть выполнены при приемлемой величине шага по времени, что и позволило использовать данную разностную схему. В итоге получена система алгебраических линейных уравнении, определяющих распределение температуры по слоям системы в любой дискретный момент времени, число которых равно числу узловых точек, а значит числу неизвестных значений температуры.

Такая система имеет единственное решение, а значения функции в каждом последующем временном слое находятся по уже найденным на предыдущем шаге значениям этой функции на предыдущем временном слое.

Использование неявных разностных схем существенно усложняет решение задачи, хотя некоторые из них обладают абсолютной устойчивостью (при любом соотношении шагов по координатам и времени) и лучшей сходимостью.

Но в нашем случае, поскольку не представляет особых затруднений выполнение условия устойчивости, предпочтительней использовать явную разностную схему.

Проверка адекватности полученной конечно-разностной модели осуществлялась жепериментально, для конкретного ЭТП, характеризуемого следующими конструктивными параметрами термометрическая жидкость полиметилсилоксановая жидкость марки ПМС—400.

корпус ЖТМП изготовлен из стали марки Ст 3. каркас катушки изготавлен из латуни. обмотка намотана в один слой из медного круглого провода. Исследование конечно-разностной модели было реализовано с помощью средств, предоставляемых пакетом MathCAD.

При этом применены изложенные ранее соображения.

Сходимость и устойчивость проверялась прямым способом прогонами модели при вариациях шага сетки и входных данных. Экспериментальные данные получены с помощью специализированного программно-аппаратного комплекса, позволяющего варьировать температуру окружающей среды, ток обмотки и устанавливать ЖТМП различных конструкций.

Программа сбора информации позволяет производить как однократные, так и циклические испытания. Результаты испытаний фиксируются в базе данных. Собранная информация может быть перенесена для обработки и визуализации в другие программные продукты (Excel, MathCAD, MatLAB и т.п).

Были проведены многочисленные испытания различных образцов ЖТМП для нескольких вариантов конструктивного исполнения.

Снимались зависимости хода штока (перемещение штока), температуры катушки, температуры тщлиндра (корпуса) и окружающей среды от времени при фиксированных величинах тока в обмотке катушки. Испытания показали высокую степень повторяемости результатов при многократных испытаниях любого из экземпляров расхождения не превали единиц процентов.

Повторяемость результатов при испытании различных экземпляров одного и того же конструктивного типа оказалась также весьма высокой расхождения не превали 5. На основании проведенных испытаний были составлены усредненные характеристики двух конструктивно различных видов ЖТМП для сопоставления с результатами моделирования.

Степень соответствия совпадающих участков может быть оценена как вполне адекватная принятым допущениям и упрощениям.

При этом можно ожидать, что некоторое усложнение модели позволит добиться лучших результатов. Искажение начального участка характеристики было интерпретировано наличием воздушного пузырька в полости преобразователя. Усовершенствование технологии его сборки позволило устранить этот недостаток.

Практическое использование полученной модели возможно и целесообразно и при уже достигнутых величинах отклонений. Один из возможных вариантов — создание комплекса предназначенного для разработки, подгонки и тестирования новых конструкций ЖТМП.

В этом применении возможно сти моделирования позволят просматривать направления изменения конструктивных характеристик без необходимости изготовления опытных экземпляров, что значимо уменьшит время подготовки изделия к выпуску.

Учитывая, что ЖТМП имеют отличные перспективы для применения в самых разнообразных устройствах (например, автоматические токовые расцепители и термостаты), можно рассчитывать на высокую перспективность построения и использования такого комплекса.

В качестве объекта управления рассматривается блок подпитки теплои (БПТС) химического цеха ТЭЦ ВАЗа. В процессе химводоочистки ществляется подготовка химически очищенной воды (ХОВ) для системы оснабжения. Вода поступает на блок фильтров.

После фильтров качество ы заведомо выше требуемого, поэтому для достижения заданного качест ХОВ подмешивается питьевая вода. ХОВ заданного качества собирается ке ХОВ, в котором необходимо поддерживать постоянный уровень. Поэтому в задачи системы автоматического управления входит подкание постоянного уровня в баке ХОВ.

Кроме того, система должна печивать заданное качество ХОВ путём поддержания постоянного соотсния между расходами фильтрата и подмеса.

На первом этапе работа каждой САР рассматривалась по отдельности. С помощью системы Sraulnk математического пакета Matlab было ;дено динамическое моделирование системы. Далее была рассмотрена гстная работа САР уровня и подмеса.

Полученные переходные характеки удовлетворяют требованиям к качеству регулирования.

Результаты численного моделирования будут использованы в дальнейшем при реализации САУ процессом химводоочистки на базе промышленных контроллеров фирмы Semens.

Представленная математическая модель описывает процесс диффузии конвекции взвесей различных типов в водной среде с учётом их взаимной трансформации, осаждения, взаимодействия с дном и свободной поверхностью. Доказано условие существования и единственности решения.

Произведена дискретизация области и представлены разностные схемы первого и второго порядка аппроксимации, сохраняющие суммарное количестно вещества в сетке. Особое внимание уделено аппроксимации граничных условий.

Программная реализация с использованием объектноориентированного подхода позволила удобно описать все физические процессы, входящие в модель. Был произведён расчёт тестовой задачи с использованием параллельного алгоритма (верхняя релаксация с шахматным упорядочиванием).

Представленные результаты численных расчётов и их визуализация позволяют сделать выводы о физической правдоподобности получаемых с помощью модели результатов. Планируется применение модели при оценке загрязнения среды, вызванного добычей железомарганцевых конкреций в Тихом океане.

Это говорит о том, что существует некая рабочая точка, для которой характерно выделение максимального количества энергии в моющую среду и минимум энергии тратится на потери, а точнее на нагрев колебательной  режим может обеспечить система, имеющая не только  настройку на резонанс колебательной системы, который зависит от н»п та моющей жидкости в ванне, но и способная контролировать (кино излучению, которое в свою очередь зависит от плотности ацей жидкости и скорости в ней. Кавитация в жидкости подразумевает тип быстрорастущих и резко захлопывайщихся газонаполненных, количество которых в единичном объеме увеличивается с увеличением мощности ультразвуковой энергии, вводимой в среду.

Это, в свою препятствует распространению кавитации. Кавитационная область хам рп чуется аномально высоким коэффициентом затухания и  на границе раздела металл воздух близок.

На резонансе к мрическая энергия выделяется на сопротивлении механических потерь (Ими const, и определяется конструкцией колебательной системы) и преобрм юианная в акустическую энергию в моющую среду. Отсюда ясно, что  увеличения мощности источника питания системы невозможно увеличить кавитационную область.

Но, поддерживая режим развитой кавитации с помощью широтноимпульсного модулятора,  оптимальную, по критерию максимум энергии выделяемой в среду и минимум затрат электроэнергии (что очень актуально на производстве), установку для ультразвуковой очистки материалов.

Режим развитой кавитации можно обеспечить, поддерживая сопротивление излучению RM постоянным п равным 50 Ом. Нами была разработана такая установка и подробное ее описание будет представлено .

Источник: https://paidagogos.com/vyibor-konechno-raznostnoy-shemyi-dlya-chi.html

Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

Аннотация: В лекции рассматриваются методы исследования устойчивости разностных схем для линейных эволюционных уравнений в частных производных (гиперболического и параболического типов) Обсуждается применение спектрального признака устойчивости, энергетического признака, условия Куранта, Фридрихса и Леви для гиперболических уравнений. Формулируется и доказывается теорема (В. С. Рябенького — П. Лакса) о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости для линейных разностных схем

Напомним некоторые корректные постановки задач для уравнений в частных производных , которые будут встречаться в дальнейшем.

Задача Коши для уравнения теплопроводности.

Найти функцию u(t , x) в области, удовлетворяющую уравнению

и начальным данным u(0, x) = u0(x), где u0(x) — заданная функция.

Смешанная задача для уравнения теплопроводности.

Найти функцию u(t , x) в области, удовлетворяющую уравнению

начальным данным u(0, x) = u0(x) и краевым условиям, записанным в общей форме

Смешанная задача для уравнения переноса.

Найти функцию u(t , x) в области, удовлетворяющую уравнению (для определенности положим c > 0 ):

начальным данным Коши

и левому краевому условию

Смешанная задача для волнового уравнения.

Найти функцию u(t , x) в области, удовлетворяющую уравнению

с начальными данными

и краевыми условиями.

Эллиптическая краевая задача (уравнение Пуассона).

Найти функцию u(x , y) в области, удовлетворяющую уравнению

и краевым условиям,,.

Простейший способ построения численных решений для уравнений в частных производных — метод сеток. В дальнейшем, наряду с методом сеток, будем рассматривать и другие подходы к численному решению задач , например, вариационные, методы конечных элементов.

Рассмотрим постановку разностной задачи в методе сеток на примере одномерного уравнения теплопроводности.

Читайте также:  Использование приёма "толстые и тонкие вопросы" на уроках

Для решения одномерной смешанной задачи для уравнений в частных производных параболического типа область определения искомой функции покрывается расчетной сеткой с узлами в точках {tn, xm}, n = 0, … , N, m = 0, …

, M ,, xm = mh,, h = X/M , где— шаги сетки по времени и пространству соответственно. Приближенным решением задачи назовем сеточную функцию.

Верхний индекс в такой форме записи сеточной функции традиционно указывает на номер слоя по времени, нижний (нижние) — на номер узла сетки по пространственной координате (рис. 1.1).

Рассмотрим подходы к построению численных алгоритмов для приближенного решения уравнений в частных производных.

Рис. 1.1.

Явная разностная схема для приближенного решения уравнения теплопроводности во внутренних узлах сетки (не принадлежащим границе сеточной области) имеет вид

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений для определения значений сеточной функции внутри расчетной области, дополненная соответствующими начальными и граничными условиями для этой сеточной функции. Шаблон схемы, представляющий собой конфигурацию расчетных узлов в области интегрирования, используемых на каждом элементарном шаге вычислений , показан на рис. 1.2.

Рис. 1.2.

Эта схема аппроксимирует дифференциальное уравнение во внутренних точках (узлах) области интегрирования, т.е. при n = 1 , … , N — 1, m = 1 , … , M — 1. Проведем аппроксимацию начальных данных и краевых условий:

для определенности положим.

Расчет ведется по рекуррентной формуле на каждом временном слое от n = 1 до n = N от m = 1 до m = M — 1 во внутренних узлах; слой n = 0(t = t0) соответствует начальным данным, лучи m = 0(x = x0) и m = M(x = xM) — левому и правому краевым условиям.

Запишем явную схему в виде

По этой формуле последовательно, на каждом слое вычисляется сеточная функция во внутренних узлах области интегрирования.

Для завершения расчета слоя t = tn + 1 необходимо вычислитьи, для чего разрешаем левое и правое краевые условия относительно этих величин:

гдеиуже вычислены ранее. Реализация одного шага по времени занимает O(M) арифметических операций , всех слоев — O(NM) операций.

Явными схемами называются такие разностные схемы для эволюционных уравнений , когда данные на следующем слое по времени находятся непосредственно из данных на предыдущем слое без решения алгебраических систем уравнений. Если же на верхнем временном слое для определения значений сеточной функции необходимо решать систему алгебраических уравнений , то схема называется неявной.

Простейшая неявная разностная схема имеет вид (для простоты положим a = 1 )

ее шаблон (рис. 1.3).

Рис. 1.3.

На каждом временном слое имеем СЛАУ с трехдиагональной матрицей; алгоритм ее решения — прогонка.

Неявную схему представим в виде

откуда несложно получить прогоночное соотношение на каждом слое по времени.

Источник: http://www.intuit.ru/studies/courses/1170/213/lecture/5489

Программирование метода конечных разностей

Вручную выписывать коэффициенты СЛАУ и вводить их в программу — не самый эффективный способ программирования метода конечных разностей, потому что для каждой новой вариации постановки задачи потребуется писать новую программу.

Логичнее разработать общий солвер для более широкого класса задач, что упростит программирование и тестирование.

Тестирование алгоритмов МКР затруднено, так как точное решение неизвестно, но общий солвер можно протестировать на задачах с заданным точным решением.

Автором разработан солвер Joker FDM для решения 1- и 2-мерных задач сопряжения для эллиптических уравнений методом конечных разностей.

Постановка задачи

Рассматривается прямоугольная область. Горизонтальная сторона прямоугольника разделяется напромежутков, вертикальная — напромежутков. Таким образом, весь прямоугольник разделяется напрямоугольных подобластей.

В каждой-й подобласти,, задается система дифференциальных уравнений реакции-диффузии

с граничными условиями Дирихле, Неймана или Робина и условиями сопряжения типа неидеального контакта либо идеального контакта.

Подробную постановку задачи см. в GitHub Wiki, для просмотра формул установите расширение для Chrome.

Солвер применялся автором для вычисления решения диффузионной модели сложного теплообмена (нелинейная система двух уравнений).

Не во всех конечноэлементных решателях есть функция решения задач сопряжения со скачком решения на границе раздела (неидеальный контакт). Отметим пакет FEniCS, в котором есть такая функция.

Описание алгоритма

В области вводится сетка: каждый x- и y-промежуток разбивается на равные части.

Применяется разностная схема 2-го порядка, описанная в книге Самарского, Андреева «Разностные методы для эллиптических уравнений».

Для линеаризации нелинейных уравнений используется метод Ньютона. Этот метод хорошо зарекомендовал себя для решения уравнений сложного теплообмена.

Формулировку и обоснование одномерной разностной схемы см. в wiki.

Описание солвера

1-мерный солвер реализован на Octave и C++, 2-мерный – только на C++.

Разностные уравнения записываются в виде суммы одномерных разностных операторов по x и y и нелинейного точечного оператора.

Реализация общего алгоритма через сумму одномерных операторов позволяет не рассматривать большое количество типов узлов (внутренние, на стороне прямоугольника, в угловой точке, на границе раздела подобластей, на стороне прямоугольника и на границе раздела, в угловой точке на границах раздела). Для записи уравнений используется понятный синтаксис с перегрузкой операций.

Для решения СЛАУ применяется итерационный метод из библиотеки MTL4.

В дальнейшем планируется реализовать 3-мерный солвер аналогичным образом.

Заключение

Можно программировать метод конечных разностей по-простому: выписать разностные уравнения для конкретной задачи, ввести коэффициенты в программу и вызвать функцию решения СЛАУ.

Более продуктивно разработать общий солвер, который можно протестировать на задачах с известным решением.

Источник: https://habr.com/post/320070/

Метод конечных разностей (метод сеток)

Идея метода конечных разностей (метода сеток) известна давно, с соответствующих трудов Эйлера.

Однако практическое применение этого метода было тогда весьма ограничено из-за огромного объема ручных вычислений, связанных с размерностью получаемых систем алгебраических уравнений, на решение которых требовались годы.

В настоящее время, с появлением быстродействующих компьютеров, ситуация в корне изменилась. Этот метод стал удобен для практического использования и является одним из наиболее эффективных при решении различных задач математической физики.

Основная идея метода конечных разностей (метода сеток) для приближенного численного решения краевой задачи для двумерного дифференциального уравнения в частных производных состоит в том, что

1)  на плоскости в области А, в которой ищется решение, строится сеточная область А (рис.1), состоящая из одинаковых ячеек размером s ( s – шаг сетки)  и являющаяся приближением данной области  А;   

2)  заданное дифференциальное уравнение в частных производных заменяется в узлах сетки А  соответствующим конечно-разностным уравнением;

3) с учетом граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области  А .

Рис. 1. Построение сеточной области

Решая полученную систему конечно-разностных алгебраических уравнений, получим значения искомой функции в узлах сетки А, т.е. приближенное численное решение краевой задачи. Выбор сеточной области А зависит от конкретной задачи, но всегда надо стремиться к тому, чтобы контур сеточной области А наилучшим образом аппроксимировал контур области А.

Рассмотрим уравнение Лапласа

             (1)

где  p ( x, y ) – искомая функция,  x, y – прямоугольные координаты плоской области и получим соответствующее ему конечно-разностное уравнение.

Заменим частные производные и  в уравнении (1) конечно-разностными отношениями:

Тогда решая уравнение (1) относительно p ( x, y ), получим:

                (2)

Задав значения функции p ( x, y ) в граничных узлах контура сеточной области А в соответствии с граничными условиями и решая полученную систему уравнений (2) для каждого узла сетки, получим численное решение краевой задачи (1) в заданной области А.

Ясно, что число уравнений вида (2) равно количеству узлов сеточной области А, и чем больше узлов (т.е. чем мельче сетка), тем меньше погрешность вычислений.

Однако надо помнить, что с уменьшением шага  s возрастает размерность системы уравнений и следовательно, время решения.

Поэтому сначала рекомендуется выполнить пробные вычисления с достаточно крупным шагом  s , оценить полученную погрешность вычислений, и лишь затем перейти к более мелкой сетке во всей области или в какой-то ее части.

Источник: http://www.simumath.net/library/book.html?code=Ur_Mat_Ph_method_net

Введение в вычислительную математику, Рябенький В.С., 2008

Книги и учебники → Книги по математике

СкачатьЕще скачатьСмотретьКупить бумажную книгуКупить электронную книгуНайти похожие материалы на других сайтахКак открыть файлКак скачатьПравообладателям (Abuse, DMСA)Введение в вычислительную математику, Рябенький В.С., 2008.

  В книге изложены основные понятия и идеи, используемые для преобразования математических моделей к виду, удобному для вычисления с помощью компьютера. Изложение ведется на материале вычислительных задач математического анализа, алгебры и дифференциальных уравнений.

Впервые в учебной литературе отражен метод разностных потенциалов для численного решения краевых задач математической физики.Для студентов и преподавателей механико-математических и физических факультетов университетов, МФТИ, МИФИ, технических вузов.

Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по направлению «Прикладные математика и физика».

Погрешность.

Во всякой вычислительной задаче по некоторым входным данным задачи требуется найти ответ на поставленный вопрос. Если ответ на вопрос задачи можно дать с абсолютной точностью, то погрешность отсутствует. Но обычно удается найти ответ лишь с некоторой погрешностью.

Погрешность вызывается тремя причинами.Первая причина — некоторая неопределенность при задании входных данных, которая приведет к соответствующей неопределенности в ответе: ответ может быть указан лишь с некоторой погрешностью, которая носит название неустранимой погрешности.

Вторая причина: если мы ликвидируем неопределенность в задании входных данных, фиксировав какие-либо входные данные, а затем будем вычислять ответ с помощью какого-нибудь приближенного метода, то найдем не в точности тот ответ, который соответствует этим фиксированным входным данным.

Возникает погрешность, связанная с выбором приближенного метода вычислений.Третья причина: сам выбранный нами приближенный, метод реализуется неточно из-за погрешностей округлений при вычислениях на реальном компьютере.

Погрешность результата складывается, таким образом, из неустранимой погрешности, погрешности метода и погрешности округлений.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию Предисловие к первому изданию Введение  §1. Дискретизация §2. Обусловленность §3. Погрешность §4. О методах вычисления

ЧАСТЬ I. Табличное задание и интерполяция функций. Квадратуры

ГЛАВА 1. Алгебраическая интерполяция §1. Существование и единственность интерполяционного многочлена§2. Классическая кусочно многочленная интерполяция §3. Кусочно многочленная гладкая интерполяция (сплайны) §4. Интерполяция функций двух переменных

ГЛАВА 2. Тригонометрическая интерполяция

Читайте также:  Детские техники рисования

§1. Интерполяция периодических функций §2. Интерполяция функций на отрезке. Связь между алгебраической и тригонометрической интерполяциями

ГЛАВА 3. Вычисление определенных интегралов. Квадратуры

§1. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона §2. Сочетание численных и аналитических методов при вычислении интегралов с особенностями §3. Кратные интегралы

ЧАСТЬ II. Системы скалярных уравнений

ГЛАВА 4. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы отыскания точного решения §1. Формы записи совместных СЛАУ §2. Нормы §3. Обусловленность СЛАУ §4. Методы исключения Гаусса §5. Связь между задачей на минимум квадратичной функции и СЛАУ §6. Метод сопряженных градиентов как метод точного решения СЛАУ §7. Конечные ряды Фурье и запись точного решения разностного аналога задачи Дирихле для уравнения Пуассона

ГЛАВА 5. Методы последовательных приближений (итерационные методы) решения систем линейных алгебраических уравнений

§1. Методы простых итераций §2. Метод Чебышёва и метод сопряженных градиентов

ГЛАВА 6. Переопределенные СЛАУ. Метод наименьших квадратов  

§1. Примеры задач, приводящих к переопределенным СЛАУ §2. Переопределенные СЛАУ и обобщенные решения в общем случае  

ГЛАВА 7. Численное решение нелинейных скалярных уравнений и систем уравнений

§1. Метод простых итераций §2. Метод линеаризации Ньютона

ЧАСТЬ III. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений

ГЛАВА 8. Численное решение задач для обыкновенных дифференциальных уравнений  §1. Примеры разностных схем. Сходимость §2. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной схемой  §3. Определение устойчивости разностной схемы. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости §4. Схемы Рунге-Кутты §5. Методы решения краевых задач

ГЛАВА 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными  

§1. Основные определения и их иллюстрация §2. Некоторые приемы построения аппроксимирующих разностных схем §3. Спектральный признак устойчивости разностной задачи Коши. .§4. Принцип замороженных коэффициентов §5. Явные и неявные разностные схемы для уравнения теплопроводности  

ГЛАВА 10. Понятие о разрывных решениях и способах их вычисления  

§1. Дифференциальная формулировка интегрального закона сохранения  §2. Построение разностных схем

ГЛАВА 11. Разностные методы для эллиптических задач

§1. Аппроксимация и устойчивость простейшей разностной схемы§2. Понятие о методе конечных элементов §3. Вычисление решений сеточных аналогов краевых задач §4. Многосеточный метод Федоренко

ЧАСТЬ IV. Методы граничных уравнений для численного решения краевых задач

ГЛАВА 12. Граничные интегральные уравнения и метод граничных элементов для их численного решения §1. Способы редукции краевых задач к ГИУ §2. Граничные элементы и дискретизация ГИУ §3. Область применимости ГИУ для численного решения краевых задач  

ГЛАВА 13. Метод разностных потенциалов

§1. Постановка модельных задач §2. Разностные потенциалы §3. Решение модельных задач Список литературы.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Введение в вычислительную математику, Рябенький В.С., 2008 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf

Источник: https://nashol.com/2016052589454/vvedenie-v-vichislitelnuu-matematiku-ryabenkii-v-s-2008.html

Математические модели и методы их решения схема

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Схема вычислительного эксперимента В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Этапы построения и анализа с помощью ЭВМ математической модели объекта

При выборе физической и математической модели пренебрегают факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия и др. ) эти уравнения можно заменить линейными.

Основу схемы вычислительного эксперимента составляет триада: модель — метод (алгоритм) — программа. Метод математического моделирования и вычислительный эксперимент соединяют в себе преимущества традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования.

Общие положения Математическая модель – это описание исследуемого явления с помощью математических символов и операций над ними. Например, наиболее часто встречающейся моделью является понятие функциональной зависимости y = f(x).

Для нее могут быть поставлены различные задачи, например: – найти max f(x); – найти min f(x).

Для того, чтобы Решить задачу – нужно указать метод со строгой последовательностью действий для получения из известных исходных данных требуемого результата.

Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели ( «дискретная модель» ), которая доступна для реализации на ЭВМ. В настоящее время помимо численных методов имеются также методы, которые позволяют проводить на ЭВМ аналитические выкладки.

Численные методы предполагают разработку вычислительного алгоритма, т. е. конечной, строгой последовательности арифметических и логических действий, обеспечивающих получение решения с заданной контролируемой погрешностью.

Численные методы решения математических задач можно разделить на точные и приближенные. Точный метод – это обычно модель в виде формулы или конечного вычислительного алгоритма для ее расчетов, которые позволяют получить точное решение.

Приближенный – это метод, позволяющий за счет некоторых допущений свести решение исходной задачи к более простой задаче, которая имеет точное решение.

Вычислительный алгоритм Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.

Построение численного метода для заданной математической модели разбивается на два этапа: а) формулирование дискретной задачи; б) разработка вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи.

Если исходная математическая задача сформулирована в виде системы дифференциальных уравнений, то для численного решения необходимо заменить ее системой конечного, может быть, очень большого числа линейных или разностных алгебраических уравнений. В этом случае говорят, что проведена дискретизация исходной математической задачи.

Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ с округлением. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (иногда ее называют вычислительной погрешностью).

Погрешность вычислений Погрешность обычно оценивают числом, характеризующим близость между точным приближенным значением некоторой величины. и

Алгоритм называется устойчивым, если в процессе его работы вычислительные погрешности возрастают незначительно, и неустойчивым — в противоположном случае. Следует различать погрешности модели, метода и вычислительную.

Нужно стремиться, чтобы все указанные погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность , если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10 -6, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10 -2.

Источники погрешностей Есть четыре основных источника погрешности результата, о которых следует помнить при выполнении расчетов. 1. Неточность математической модели.

Любая модель является определенной идеализацией рассматриваемого физического явления и описывает лишь основные факторы, существенные при решении конкретной научно-технической задачи. 2. Погрешность исходных данных.

Исходные данные обычно получаются из измерений, которые всегда имеют некоторую погрешность, обусловленную точностью измерений. В зависимости от того, как ошибки исходных данных отражаются на результате, задачи разделяют на два класса: корректные и некорректные.

Задача называется корректной, если малые ошибки исходных данных приводят к пропорционально малым ошибкам решения. Наоборот, если малые ошибки исходных данных приводят к большим ошибкам в результатах, задача называется некорректной. 3. Погрешность метода.

При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение представляется в виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий. При ограничении конечным числом вычислений вносится погрешность, контролируемая некоторыми параметрами метода.

Например, чтобы вычислить значение функции y = e x при x > 0 предлагается в качестве вычислительного метода M(x) взять n первых членов ряда e x ≈ M(x) = 1 – x + x 2/2! … + (– 1)n xn/ n!

Параметром метода здесь является n, погрешность метода при этом оценивается последним отброшенным членом n = | M(x) – e x | < x(n+1) / (n+1)! (остаточная погрешность) и при n , n 0. 4. Ошибки округлений. Округление – замена одного числа на другое, содержащее меньшее количество цифр. Все расчеты на ПК производятся с конечным числом значащих цифр (после десятичной точки).

Поэтому при вычислении, например, 1. /3. = 0. 3333. . . , если округление производится в седьмом знаке, то вносится ошибка 10 -8. Когда вычислений много, то такие ошибки могут накапливаться или, наоборот, компенсироваться (положительные и отрицательные). В зависимости от реакции на погрешность округлений, вычислительные методы разделяются на устойчивые и неустойчивые.

Метод устойчив, если в процессе вычислений ошибки округлений не накапливаются, в противном случае метод неустойчив. Неустойчивость обычно устанавливается путем проведения прямых расчетов с различными значениями параметра метода. При увеличении количества вычислений по неустойчивому методу ошибки быстро нарастают, что приводит к переполнению памяти.

Требования к вычислительным методам Можно выделить две группы требований к численным методам. Первая группа связана с адекватностью дискретной модели исходной математической задаче, и вторая группа – с реализуемостью численного метода на ЭВМ.

К первой группе относятся такие требования, как сходимость численного метода, выполнение дискретных аналогов законов сохранения, качественно правильное поведение решения дискретной задачи.

Предположим, что дискретная модель математической задачи представляет собой систему большого, но конечного числа алгебраических уравнений. Говорят, что численный метод сходится, если при неограниченном увеличении числа уравнений решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи.

Схемы, удовлетворяющие этому требованию, называются консервативными. Сходимость численного метода тесно связана с его корректностью. Предположим, исходная математическая задача поставлена корректно, т. е. ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных.

В понятие корректности численного метода включаются свойства однозначной разрешимости соответствующей системы уравнений и ее устойчивости по входным данным. Под устойчивостью понимается непрерывная зависимость решения от входных данных, равномерная относительно числа уравнений, составляющих дискретную модель.

Вторая группа требований, предъявляемых к численным методам, связана с возможностью реализации данной дискретной модели на данной ЭВМ, т. е. с возможностью получить на ЭВМ решение соответствующей системы алгебраических уравнений за приемлемое время.

Итерационные методы решения задач Символически решаемую задачу можно записать в виде А(X) = b,

Читайте также:  Учим ребенка английскому языку

Итерационные методы основаны на построении сходящейся к точному решению X* бесконечной рекуррентной последовательности X(0), X(1), X(2), …, X(k) X* (при k ) элементов той же природы, что и X* (числа, векторы, функции).

Последовательность называется рекуррентной, если каждый следующий ее член выражается через предыдущий по некоторому известному правилу: X(1)= (X(0)); X(2)= (X(1)); …, X(k)= (X(k 1)); … (1) где: X(0) – значение решения на нулевом шаге (начальное приближение), которое известно или задается.

Расчеты производят до тех выполнится, как правило, условие: пор, пока не | X(k) – X (k 1) | , где – некоторая заданная малая величина – точность решения.

В качестве искомого решения берут последний член последовательности X(k), при котором выполнилось указанное неравенство.

У рекуррентной последовательности есть понятие по-рядка (m) – упрощенно это количество предыдущих элеме-нтов, которые нужно использовать для поиска решения на следующем итерационном шаге.

Так, итерационный процесс (1) является одношаговым (m = 1). А процесс, в котором для вычисления каждого следующего значения используются два предыдущих, например: X(k) = (X(k 1) , X(k 2)); …является двух шаговым итерационным процессом (m = 2). Итерационный процесс порядка m: X(k) = (X(k 1) , X(k 2), …, X(k m) ); …

ЛИТЕРАТУРА 1. В. Н. Тарасов, Н. Ф. Бахарева Численные методы. Теория, алгоритмы, программы. – Оренбург: ИПК ОГУ, 2003.

Источник: http://present5.com/matematicheskie-modeli-i-metody-ix-resheniya-sxema/

Численное решение краевых задач математической физики методом сеток

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

(национальный исследовательский  университет)»

Факультет информатики

Кафедра технической кибернетики

Расчётно-пояснительная  записка к курсовому проекту

по  дисциплине «Численные методы»

Тема: «ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МЕТОДОМ СЕТОК»

Вариант № 27

Выполнил студент      Абдулвалиев А.А.

Группа 6409       

Руководитель работы     Дегтярев А.А.

2 0 1 2 

Задание

Осуществить математическую постановку краевой задачи для  физического процесса, описанного в предложенном варианте курсового проекта.

Осуществить построение сеточной схемы, приближающей полученную краевую  задачу. При этом следует согласовать  с преподавателем тип сеточной схемы.

Провести аналитическое  исследование схемы: показать, что схема  аппроксимирует исходную краевую задачу, и найти порядки аппроксимации  относительно шагов дискретизации; исследовать устойчивость схемы  и сходимость сеточного решения  к решению исходной задачи математической физики.

Разработать (описать) алгоритм численного решения сеточной краевой  задачи.

Разработать компьютерную программу, реализующую созданный алгоритм, с интерфейсом, обеспечивающим следующие  возможности: диалоговый режим ввода  физических, геометрических и сеточных параметров задачи; графическую визуализацию численного решения задачи; возможность  сравнения решений, полученных альтернативными  методами; исследование методической погрешности.

Используя разработанную  компьютерную программу провести исследование погрешности сеточного решения  методом вычислительного эксперимента. Исследования провести на тестовом примере, согласованном с преподавателем. Дать сравнительный анализ результатов  исследований, полученных альтернативными  методами.

Оформить пояснительную  записку к курсовой работе в соответствии с требованиями, предъявляемыми к  учебным текстовым документам (СТО  СГАУ 02068410-004-2007, Общие требования к  учебным текстовым документам. – Самара, СГАУ, 2007).

Вариант 27

В тонком однородном стержне  длиной и сечением происходит тепловой процесс на временном промежутке . Боковая поверхность стержня теплоизолированная, теплоизолированными также являются и концы стержня. В начальный момент времени температура стержня описывалась функцией . Коэффициенты теплопроводности и объемной теплоемкости материала стержня равны и соответственно.

Для численного решения использовать конечно-разностную схему Кранка-Николсона.

Значения параметров:

Реферат

Пояснительная записка: 25 с., 7 рисунков, 4 источника.

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, ТЕПЛОВОЙ ПРОЦЕСС, АППРОКСИМАЦИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМОЙ, РАЗНОСТНАЯ СХЕМА КРАНКА-НИКОЛСОНА, АППРОКСИМАЦИЯ, УСТОЙЧИВОСТЬ, СХОДИМОСТЬ, СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ.

Основным объектом исследования данного курсового проекта являются сеточные методы решения краевых  задач математической физики.

Целью данной работы является создание компьютерной программы  для расчета изменения температуры  в тонком однородном стержне.

Для решения поставленной задачи строится разностная схема Кранка-Николсона. Для схемы найден порядок аппроксимации, показана условная устойчивость и выполнение необходимого признака Неймана.

Для реализации разностной схемы спроектирован программный модуль, позволяющий получить результаты заданными параметрами построения сетки.

Проведена работа по исследованию качества полученного решения с помощью вычислительного эксперимента: сопоставление аналитического и сеточного решений, исследование скорости сходимости.

Программа написана на Java: 1.6.0_26, использовалась виртуальная машина Java HotSpot(TM) Client VM 20.1-b02.

Содержание

Задание 2

Реферат 4

Содержание 5

Введение 6

1 Постановка краевой задачи 7

2 Построение разностной схемы Кранка-Николсона 8

3 Аппроксимация 11

4 Устойчивость 13

5 Необходимый признак Неймана 15

6 Моделирование процесса на компьютере с помощью разностной схемы 16

7 Экспериментальное исследование скорости сходимости 19

Заключение 24

Список использованных источников 25

Приложение 26

Введение

Спектр краевых задач  математической физики, для которых  возможно получить аналитическое решение, довольно узкий.

Одним из подходов, в рамках которого можно получить решение гораздо более широкого множества краевых задач математической физики, является метод конечных разностей.

Этот метод позволяет осуществить построение разностных схем, в данной работе будет использована схема Кранка-Николсона.

Для решения краевой задачи сначала строится разностная схема  методом замены производных разностными  отношениями. Далее проводится исследование схемы, а именно исследование порядков аппроксимации численного решения  на регулярной сетке, а также исследование устойчивости решения, удовлетворения признаку устойчивости Неймана.

На основе полученной разностной схемы разработана программа, и  в данной работе будут приведены  некоторые полученные результаты в  сравнении с аналитическим решением той же задачи. Наконец, будет рассмотрен вычислительный эксперимент по определению порядков сходимости численного решения к аналитическому.

1 Постановка краевой задачи

Уравнение теплопроводности [1] для стержня при отсутствии бокового теплообмена имеет вид  .

Отсутствие теплообмена  на концах стержня выражается в виде условий:

Добавляя к этим краевым  условиям начальное условие  , получим задачу математической физики:

(1)

Введем обозначения:

 – линейный оператор, действующий  на функцию  . Результат действия оператора на пусть имеет вид:

.

Также рассмотрим вектор правых частей уравнений:

.

Если соблюдены ограничения  на переменные из системы (1), то краевая задача (1) представима в виде:

,<\p>

2 Построение  разностной схемы Кранка-Николсона

Определим равномерную сетку  как множество узлов  :

, где

Сеточная область  является аналогом области , для которой в разделе 1 поставлена краевая задача. На сеточной области определены сеточные функции, образующие пространство сеточных функций .

Построение схемы Кранка-Николсона  будем производить заменой производных, входящих в состав уравнения (1), разностными отношениями [2]. В эти разностные отношения входят значения функции в узлах шаблона неявной конечно-разностной схемы, приведенного на рисунке 1:

Рисунок 1 – Шаблон схемы Кранка-Николсона

(- основные узлы;  — вспомогательный узел)

Обозначим значение функции  в узле :

.

Рассмотрим наряду с основными  узлами шаблона вспомогательный  узел , обозначенный крестом на рисунке 1. Значение функции нем обозначим:

.

Выразим производные, входящие в состав системы (1), через разностные производные, получим приближенные равенства:

,  (2.1)

,   (2.2)

.  (2.3)

Запишем первое уравнение системы (1) для узла и :

,       (2.4)

     (2.5).

Далее подставим (2.1) и (2.2) в (2.4); также подставим (2.1) и (2.3) в (2.5), увеличив в уравнении (2.1) индекс на единицу. Получим следующую систему:

 (2.6)  

где — значение решения во вспомогательном узле.

Для производной  на границах используем разностную аппроксимацию производной первого порядка (соответственно левую для правой границы и правую для левой границы):

Теперь если умножить каждое из уравнений (2.6) на число 0,5 и сложить, а также дописать начальное и граничные условия, то получим схему Кранка-Николсона для нашей задачи:

  (2.7)

где .

Эта схема является неявной  и для расчёта решения мы используем метод прогонки.

Введем обозначения:

 – линейный оператор, действующий  на сеточную функцию  , , значения которой в узлах с соответствующими номерами равны . Результат действия оператора на пусть имеет вид:

.

Также рассмотрим вектор –  одноиндексную сеточную функцию:

,        .

Тогда схема (2.7) представима в виде:

3 Аппроксимация

Рассмотрим общий вид краевой задачи относительно функции :

Здесь — линейный оператор, а – составной функциональный объект.

Для решения этой задачи мы используем ее сеточный аналог:

Сеточное решение аппроксимирует исходную задачу, если где — дискретный аналог функции [3]. Покажем, что сеточная задача аппроксимирует исходную и найдем порядки аппроксимации. Для этого рассмотрим невязку, которая возникает при замене сеточного решения дискретным аналогом непрерывного решения

где<\p>

Сначала рассмотрим Разложим каждое слагаемое в выражении невязки в окрестностях некоторой точки Для простоты введем обозначение Также обозначим как Будем действовать поэтапно. Выпишем отдельно

Теперь  найдем разложение в  ряд первого слагаемого:

Во втором слагаемом нам  понадобится 

Теперь мы можем найти  разложение выражения

Получим разложение числителя  второго слагаемого:

И выражение  числителя первого  слагаемого:

Окончательно, используя ранее  полученные промежуточные  результаты, узнаем порядок локальной  аппроксимации первого  сеточного уравнения:

Как видно  из локальной аппроксимации  первого разностного  уравнения в точке всилу произвольности выбора индексов

Проделаем аналогичный путь для :

Как видим, второе разностное уравнение аппроксимирует второе уравнение  задачи (1) со сколь угодно высоким порядком.

Рассмотрим далее :

Локальный порядок аппроксимации:<\p>

Аналогично :

Локальный порядок аппроксимации:<\p>

В целом для всей системы  уравнений можно сказать, что  схема аппроксимирует исходную задачу, и погрешность аппроксимации схемы .

4 Устойчивость

Чтобы разностная схема была устойчивой, в первую очередь необходимо существование решения и притом единственного, также необходимо выполнение следующего условия:

где — возмущение правой части (погрешность схемы, неточность модели, вычислительная погрешность) [3].

Учитывая то, что наша схема  линейна, задачу нахождения отклика  на возмущение можно записать следующим  образом:

  (4.1)

Определим нормы в пространствах  и таким образом:

где и — возмущения правой части и .

Пусть , перепишем уравнение (4.1):<\p>

Далее предположим, что  и воспользуемся неравенством треугольника:

Раз уж записанное выше равенство  справедливо, то и  подавно справедливо  будет

Заметим, что правая часть  неравенства не зависит от коэффициента , а значит, справедлива для всех значений коэффициента, и тогда, попутно приведя подобные слагаемые, запишем:

Нам интересно, ограничена ли норма  относительно возмущения правой части, для того чтобы это узнать, рассмотрим последнее уравнение при различных значениях<\p>

Учтем, что , и получим

Итак, мы доказали, что схема  устойчива при выполнении условия  .

5 Необходимый  признак Неймана

Необходимый признак Неймана для разностных задач определяет необходимое условие устойчивости схемы. Таким образом, если он не выполняется, то схема не является устойчивой [4].

Теорема звучит так: для устойчивости разностной схемы (2.7) необходимо, чтобы существовали такие постоянные и , что для любых сеток мелкостью   и для любых значений параметра было справедливо неравенство .

Собственные числа  оператора будем искать, сделав замену , и сделав в нашей схеме (без граничных условий) замену<\p>

где -мнимая единица.

Первое уравнение системы  с учетом замены примет вид

Найдем выражение для  собственного числа 

Заметим, что  , кроме того , значит

Что говорит  нам о выполнении условия устойчивости Неймана.

6 Моделирование процесса на компьютере с помощью разностной схемы

Получено соотношение, которое позволяет реализовать разностную схему программно:

Из начальных условий нам известны значения функции на временном слое , а также соотношения на граничных слоях и Этого достаточно, чтобы определить значения функции во всех узлах на всех временных слоях.

Для получения значений функции  на каждом временном слое будем решать систему линейных уравнений , где матрицы и вектора имеют следующий вид

где<\p>

Для решения будем использовать метод прогонки, обладающий асимптотической сложностью O(n). Код программы, использовавшейся для моделирования процесса, приведен в приложении.

Ниже приведем некоторые результаты на графиках, отображающих решение, полученное разностным методом и аналитическим методом решения.

Источник: http://stud24.ru/mathematic/chislennoe-reshenie-kraevyh-zadach-matematicheskoj/462101-1750062-page1.html

Ссылка на основную публикацию